Định lý thặng dư Trung Hoa
Định lý thặng dư Trung Hoa được coi là một trong những viên kim cương trong số học sơ cấp. Đây có thể coi là một định lý quan trọng lý thuyết đồng dư, trong bài viết này hi vọng trao đổi cùng bạn đọc một số ứng dung của nó trong việc giải một số bài toán phổ thông. 1. Nội dung định lý và chứng minh. Định lý thặng dư Trung Hoa được phát biểu như sau: Cho $m_1,m_2,...,m_n$ là n số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau và $a_1,a_2,...,a_n$ là n số nguyên bất kì. Khi đó hệ phương trình đồng dư $x\equiv a_i(\text{ mod }m_i)$ có nghiệm và nghiệm này là duy nhất theo mod $m_1m_2....,m_n$. Trước hết ta hay nhìn lại vấn đề được ra, có hai vấn đề chúng ta cần quan tâm ở đây: Thứ nhất là tính giải được của hệ phương trình đồng dư này, thứ hai là tính duy nhất của nghiệm. Bây giờ ta hay tiếp cận bài toán, đương nhiên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n=2, các trường hợp n>2 là hệ quả của trường hợp này (giải thích tại sao ?): Có rất nhiều cách chứng minh bài toán này, dưới đây là m...