So Deep

** Thiền là điều phục tâm**. Muốn điều phục tâm phải điều hòa được hơi thở. Muốn điều hòa được hơi thở phải điều hòa được thân. Bài T3/509. Giải phương trình: $\frac{1}{5x^2-x+3}+\frac{1}{5x^2+x+7}+\frac{1}{5x^2+3x+13}+\frac{1}{5x^2+5x+21}=\frac{4}{x^2+6x+5}$ với $x>0$. Lời giải: Nhận thấy, với $x>0$ thì $+5x^2-x+3 = (4x^2-4x+1)+(x^2+3x+2)=(2x-1)^2+(x+1)(x+2)\ge (x+1)(x+2)>0$. $+5x^2+x+7=(4x^2-4x+1)+(x^2+5x+6)=(2x-1)^2+(x+2)(x+3)\ge (x+2)(x+3)>0$ $+5x^2+3x+13=(4x^2-4x+1)+(x^2+7x+12)=(2x-1)^2+(x+3)(x+4)\ge (x+3)(x+4)>0$ $+5x^2+5x+21=(4x^2-4x+1)+(x^2+9x+20)=(2x-1)^2+(x+4)(x+5)\ge (x+4)(x+5)>0$ Do đó PT(1) luôn xác định với mọi $x>0$. Từ đó Áp dụng BĐT: Nếu $a\ge b>0$ thì $\frac{1}{a}\le \frac{1}{b}$, ta có: $\frac{1}{5x^2-x+3}+\frac{1}{5x^2+x+7}+\frac{1}{5x^2+3x+13}+\frac{1}{5x^2+5x+21}$ $\le \frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}$ $=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{...

Bài T1/509: So sánh hai số sau $A=\frac{1}{5}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^3}+...+\frac{2018}{5^{2018}}$ ; $B=\frac{2018}{2019}$ Lời giải: Từ $\frac{4}{5^n}=\frac{5-1}{5^n}=\frac{1}{5^{n-1}}-\frac{1}{5^n}$ có hệ thức $\frac{4}{5^n}=\frac{1}{5^{n-1}}-\frac{1}{5^{n}}(1)$ và $\frac{4n}{5^{n}}=\frac{n}{5^{n-1}}-\frac{n}{5^{n}}(2)$. Sử dụng hệ thức (2) khi cho n lần lượt lấy 2018 giá trị từ 1,2,3,...,2018 ta được $4A=4(\frac{1}{5}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^3}+...+\frac{2017}{5^{2017}}+\frac{2018}{5^{2018}})$ $=\frac{4}{5}+\frac{4.2}{5^2}+\frac{4.3}{5^3}+...+\frac{4.2017}{5^{2017}}+\frac{4.2018}{5^{2018}}$ $=(\frac{5}{5}-\frac{1}{5})+(\frac{2}{5}-\frac{2}{5^2})+(\frac{3}{5^2}-\frac{3}{5^3})+...+(\frac{2017}{5^{2016}}-\frac{2017}{5^{2017}})+(\frac{2018}{5^{2017}}-\frac{2018}{5^{2018}})$ $=1+(\frac{2}{5}-\frac{1}{5})+(\frac{3}{5^2}-\frac{2}{5^2})+(\frac{4}{5^3}-\frac{3}{5^3})+...+(\frac{2018}{5^{2017}}-\frac{2017}{5^{2017}})-\frac{2018}{5^{2018}}$ $=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^...