Ngày 2 - THTT

** Thiền là điều phục tâm**. Muốn điều phục tâm phải điều hòa được hơi thở. Muốn điều hòa được hơi thở phải điều hòa được thân.
Bài T3/509. Giải phương trình: $\frac{1}{5x^2-x+3}+\frac{1}{5x^2+x+7}+\frac{1}{5x^2+3x+13}+\frac{1}{5x^2+5x+21}=\frac{4}{x^2+6x+5}$ với $x>0$.
Lời giải: Nhận thấy, với $x>0$ thì
$+5x^2-x+3 = (4x^2-4x+1)+(x^2+3x+2)=(2x-1)^2+(x+1)(x+2)\ge (x+1)(x+2)>0$.
$+5x^2+x+7=(4x^2-4x+1)+(x^2+5x+6)=(2x-1)^2+(x+2)(x+3)\ge (x+2)(x+3)>0$
$+5x^2+3x+13=(4x^2-4x+1)+(x^2+7x+12)=(2x-1)^2+(x+3)(x+4)\ge (x+3)(x+4)>0$
$+5x^2+5x+21=(4x^2-4x+1)+(x^2+9x+20)=(2x-1)^2+(x+4)(x+5)\ge (x+4)(x+5)>0$
Do đó PT(1) luôn xác định với mọi $x>0$.
Từ đó Áp dụng BĐT: Nếu $a\ge b>0$ thì $\frac{1}{a}\le \frac{1}{b}$, ta có:
$\frac{1}{5x^2-x+3}+\frac{1}{5x^2+x+7}+\frac{1}{5x^2+3x+13}+\frac{1}{5x^2+5x+21}$
$\le \frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}$
$=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+5}=\frac{4}{(x+1)(x+5)}=\frac{4}{x^2+6x+5}$.
Do đó $VT(1)\le VP(1)$, đẳng thức xảy ra khi $(2x-1)^2=0\iff x=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn $x>0$). Vậy nghiệm của phương trình $(1)$ với $x>0$ là $x=\frac{1}{2}$
Bài T4/509. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng a. Trên các cạnh $AD$ và $CD$ lần lượt lấy hai điểm $M,N$ sao cho $MD+DN=a$. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $BN$ và $AD$. Gọi $F$ là giao điểm của hai đường thẳng $BM$ và $CD$. Chứng minh: $ME^2-NE^2+NF^2-MF^2=2a^2$.

Lời giải: Sử dụng định lý Pythagoras cho các tam giác vuông $DNE$ và $DMF$ ta có: $ME^2-NE^2+NF^2-MF^2$
$=(MD+DE)^2+(ND+DF)^2-NE^2-MF^2$