Bài bất đẳng thức đề chọn đội tuyển Ams

Problem 1: Cho các số thực $a\ge b\ge 1\ge c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rang: $\frac{24}{a^3+b^3+c^3}+\frac{25}{ab+bc+ca}\ge 14$.
Proof. Từ giả thiết ta có: $(a-1)(b-1)(c-1)\le 0$. Suy ra: $abc\le ab+bc+ca-(a+b+c)+1=ab+bc+ca-2$.
Từ đó, ta có: $a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$=3abc+27-9(ab+bc+ca)\le 3(ab+bc+ca-2)+27-9(ab+bc+ca)=21-6(ab+bc+ca)$.
Sử dung đánh giá vào (1) kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwart ta được : $VT(1)\ge \frac{24}{21-6(ab+bc+ca)}+\frac{25}{ab+bc+ca}$
$=\frac{4}{\frac{7}{2}-(ab+bc+ca)}+\frac{25}{ab+bc+ca}\ge \frac{(2+5)^2}{\frac{7}{2}-(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)}=14$
Nguồn: Fb Võ Quốc Bá Cẩn